GeoGebra工具资源在小学数学教学中的应用研究
文 | 王宁
一、研究背景
当今信息技术飞速发展，以多媒体演示、教师讲授为主的小学数学多媒体教学，已经开始转变为以开放的交互工具探究、促进学生思维发展为主的个性化教学。近年来，支持自主创作组合的教学资源、互动开放且满足个性化需求的数学工具，越来越受到教师的青睐。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》对应用信息技术工具促进数学课程个性化教学提出了明确要求。目前，在小学数学课堂教学中运用信息技术工具还存在诸多问题，主要表现为教学活动不丰富，教学媒体单一，多媒体教学设备、数学教学软件利用率低等。究其原因，主要是缺乏可供教师直接使用或改造的开放性工具与资源，很多交互式工具是封闭的，不支持教师自主修改，不能很好地满足教学需求，也就很难得到高效利用。GeoGebra动态数学软件（以下简称GGB）具有动态、交互、开放、共享、简单、易用等特点，教师用它可以轻松解决上述问题。GGB工具嵌入数字教材后，教师可直接调用或改造相应资源，因材施教，优化课堂教学。
笔者查阅有关GGB工具在小学数学教学中应用的文献发现，多数研究是基于工具的动态交互功能从“改善教学效果、优化教学过程”角度进行分析讨论的，而借助工具开放共享的功能改造创作工具资源，从“促进个性化课堂教学开展”角度来研究的很少。基于此，笔者以GGB工具为例，结合人教版小学数学数字教材适配GGB工具资源的研发实践，从促进个性化教学的角度分析探讨数学工具资源如何助力课堂教学。
二、应用GGB工具资源助力小学数学课堂教学
在数字教材中，GGB工具资源以封闭的H5文件和开放的GGB文件两种方式上线，这有利于教师使用或根据教学情况进行个性化改造。应用GGB工具资源开展课堂教学具有生动形象、动态直观、开放交互、即时反馈等优势，有利于教师深刻地揭示数学本质、有效启发学生深度思考、促进学生个性化学习。下面就选取小学数学数字教材中的几个设计案例进行分析说明。
（一）基于数字教材共建共享教学资源，为课堂教学提供个性化的直观素材
小学数学教师对于积件式教学资源的需求十分迫切，他们特别希望通过一定范围内的共享文件快速找到优质基础资源，经过简单加工或优化以满足个性化教学需求。数字教材与GGB工具资源的融合应用可以很好地满足教师这个需求，为不同学校、地区的数学教师共建共享优质教学资源提供技术环境和操作机会。
例如，对于“认识时间”这个课例，补充开发一条能够支持教师自主调整显示钟表指针进度的数字资源，就可以实现资源共享。教师使用数字教材共享资源的功能，直接调用高中数字教材中“任意角”的GGB工具资源进行改编，可以方便快捷地为学生“探究发现时与分的关系”提供直观形象的探究素材。在此基础上，调整指针数量、颜色、形状等属性的设置，只需要几分钟又可生成供学生学习旋转性质的直观素材。将高中教学资源移用到小学，调用不同年级不同领域相应GGB工具资源灵活改编（如图1），不仅有利于增强数字教材中研发数学工具资源的整体性，而且有利于教师利用数学数字教材共建共享优质教学资源、满足个性化教学需求，并进行应用示范。
图片
图 1 不同年级不同领域共享共建 GGB 工具资源示例
（二）借助强大的交互功能，为学生学习提供开放的探究环境
创建开放的探究环境，可以充分发挥教师的主导作用，体现学生的主体地位，让学生在动手、动脑、动口、动心的过程中，增强独立思考的数学思维能力，实现个性化发展。受传统教具或技术条件的限制，课堂上教师较少组织探究活动，而借助GGB工具强大便捷的交互功能，可以很方便地为学生提供更多开放的学习机会。
在研究“搭配衣服”时，学生先利用实物图片教具摆放搭配衣服的探究过程，2件上装、3件下装，每次探究最多只能同时呈现两种搭配结果，不利于观察统计组合情况；借助普通的数字资源可以突破实物教具的局限性，可在同一页面呈现全部搭配结果，但多次拖动直接搭配又让学生对衣服数量产生了疑问“明明只有2件不同款式的上装，搭配时每款上装却可以有3件”。为解决上述问题，开发者利用GGB工具设计教学资源，将原有衣服、搭配过程、搭配结果分步分区域地呈现在同一页面，模拟真实的搭配衣服情境，支持学生先拖动上装和下装到左侧区域确定搭配方法，然后再整体拖动到框外（保留搭配结果的所有痕迹）。这样既可以保留学生的操作痕迹，呈现所有结果；又可以将搭配过程显性呈现，减少学生在搭配过程中所受干扰，让其将更多精力用在思维过程的表达和体验上。
（三）多维度直观动态呈现抽象知识产生的过程，让学生感悟数学思想
小学生主要通过直观形象的方式思考，个体思维水平不一样，仅靠教师讲解，很难对数学思想有深刻的认识和体会。教师借助GGB工具资源可以从不同维度分层次地直观展示知识的产生及变化过程，促进学生数学思维能力发展。
比如，“车轮为什么做成圆形的？”，大部分学生说不清其中的道理。为解答此问题，教师设计了“探究车轮的形状”这个GGB工具资源，在同一页面并列动态呈现车轮是不同正多边形和圆形时的行驶轨迹，引导学生用数学的眼光观察日常生活中司空见惯的现象，让学生在观察中比较这些轨迹变化趋势的过程。学生抓住圆的“一中同长”特征，感悟极限思想，学会用数学思维思考其中的原理。当然，教师借助GGB文件也可以自主修改正多边形的形状，满足教学需求。
又如，推导圆柱体积计算公式，让学生体会其中蕴含的数学思想，既是教学重点又是难点。教师利用如图2所示的GGB工具资源，将教材内容化静为动，将“分割、展开、拼摆”的转化过程直观动态呈现，随着等分份数越来越多，可以有效支撑学生从有限到无限的想象，帮助其突破难点，感悟转化思想和极限思想。对于想象能力弱一些的学生，教师可以借助3D视图、复位按钮、显示原图等，让学生多角度、反复观察对比，体会变与不变的思想、联想类比的思想，把握其数学本质。
图片
图 2 探究圆柱体积的 GGB 工具资源
（四）增强互动练习的趣味性和开放性，满足个性化的教学需求
无论国内还是国外，分层精准练习，都是个性化教学的重要路径。练习、作业、测验、试卷等的及时反馈、总结分析，对有效开展个性化教学起促进作用[5]。因此，设计分层的、开放的互动练习（题目），对个性化教学的实施是十分必要的。应用GGB工具的脚本命令、逻辑判断、反馈统计等功能，很容易满足这些需求。
例如，学生“数小正方体”，需要运用观察、想象、分析、推理等能力，而这种综合能力只有反复练习才能逐步提升。教师应用GGB工具功能，设计了互动练习资源，将教材上一道习题原有内容拓展到在3阶立方体范围内随机出题，为学生训练思维能力提供更多机会。教师借助提供的GGB文件还可以自行修改出题范围，设置题目难度，以满足学生的个性化练习需求。考虑到学生的年龄特点，适度添加游戏元素，实时形象反馈统计作答情况，借助3D视图功能旋转组合体，让学生从多角度全面观察几何体，不仅丰富了数学练习的趣味性，而且为学生提供了主动求知的学习环境和自我反思与评价机会，使学生在有看、有想、有做、有练的一系列活动过程中获得学习数学的良好体验，有效促进其空间观念的培养和综合能力的提升。
（五）灵活应用工具功能，为构建新型教学模式提供更多可能和机会
教师要让不同的学生在数学上得到不同的发展。构建新型教学模式，需要围绕数学课程的育人目标，以学生为本，开发有效的数字资源和工具，灵活选用不同的方式进行教学。创造性应用GGB工具丰富强大的功能和易学便捷的操作工具，可以实现教在知识的关键处、学在知识的生长处，使课堂教学充满活力和创造力，让学生获得持续发展的动力和能力。
以教学长方体的展开图为例，小学生由于缺乏平面图形和立体图形的转换经验，很难用准确的数学语言描述自身想象或发现的图形之间的关系。教师利用传统纸盒折叠展开进行教学，费时又费力。其实，教师可以灵活应用GGB工具的不同功能，设计开发GGB工具资源，为学生动手操作验证长方体的展开图提供开放的技术支持。例如，选择不同的展开方式，借助3D视图功能全方位观察折叠、展开的过程，帮助学生明确各个面在平面图形和立体图形中的位置，积累认知经验。利用GGB工具的指令判断和输入功能，支持在资源内部自主设置页面标签是否显示或修改标签字母为数字、符号、汉字等，可以在一定程度上满足不同情境下的个性化教学需求，为教师选用观察发现法、探究教学法等教学模式创造条件。
此外，教师利用GGB工具的变量范围设置等功能，可以改变长方体的大小，进一步设计、探究正方体的展开图，归纳对比长、正方体展开图的方式及规律，使沉浸式探究教学成为可能，让学生在自主探索学习的过程中，提高学习兴趣，培养创新实践能力。
三、研发应用GGB工具资源的几点思考
数学GGB工具资源的设计应用针对的是最普通的教师用户，若不基于原生教学来设计GGB工具资源，绝大部分很难得到推广。GGB软件作为专门的数学学科工具被人教数字教材引入，有利于广大师生创造性地共建共享开放的、成体系的、规模化的优质GGB工具资源，促进兼顾个性化与普适化资源库的开发和完善。当然，这需要相关研究人员和教育工作者在思想认识、培训服务、资源设计开发等方面持续思考和研究。
（一）辩证看待GGB工具资源研发应用过程中的问题
GGB工具应用于数学课堂的根本目的和真正价值是实现传统教学手段难以达到甚至达不到的教学效果，为课堂教学提供开放的探究交互环境和灵活便利的个性化教学服务，促进学生主动性的持续发展。因此，要充分认识GGB工具在教学应用推广过程中可能存在的问题，客观看待其所带来的影响，尊重循序渐进的技术发展规律。既不能因为在设计应用过程中的不顺畅就退缩否定、放弃学习和探索，又不能盲目乐观，不切实际地一味贴标签、追求直观形象，更不能加大教学容量、压缩或削弱学生的思维过程，甚至剥夺学生的想象空间和动手操作过程。
（二）优化教师应用GGB工具的技术培训和服务
在以往的产品培训、调研过程中，教师表现出来的信息素养和信息技术水平参差不齐。因此，要推广普及GGB工具在数学课堂教学中的应用，相关的技术培训和服务是必不可少的。新版人教高中数学教材（A版、B版）均已将GGB工具列为信息技术应用的推荐软件，并给出相关案例的操作步骤。如果基于小学数学教学需求也配套开发一批成体系的GGB实操案例并编辑成册，附在教参后面或者单独成书，是很有益处的，不仅可以有针对性地丰富小学数学信息技术技能培训的形式和资料，而且可以通过数字教材平台及时提供持续有效的个性化教学服务，为教师使用GGB工具提供完整的解决方案，帮助教师模仿练习，举一反三，真正达到学以致用、减负增效的目的。
（三）促进GGB工具资源与教育学、心理学等原理的融合应用
技术人员或教师设计GGB工具资源，不能仅仅满足于表层的简单交互或演示需求，还要关注动力、兴趣、态度、习惯、思维等非智力因素对数学学习的影响，把握数学学科和课堂教学的本质，促进GGB工具与数学知识深度融合的创新应用。这种创新，包括但不限于思维创新、理论创新、技术创新，要顺应信息技术工具和数学教育的发展潮流，遵循相应的教学原理、数学认知规律、技术应用原理，发现、创造更符合教学实际和个性化教学需求的构思与方法，引导学生用数学思维独立思考解决问题，使所有学生都能在数学上获得良好的数学教育。
深入推进数字教育资源的共建共享，是实现数字教学资源普遍化、常态化应用所必须的，而普遍化与常态化应用的前提是数字教学资源的优质、开放与好用[6]。GGB工具无疑是一款强大的、优秀的数学工具，基于此设计开发更多优质的工具资源，可为学生提供“恰需”的技术支持。要有效促进学生高质量的深度学习和个性化学习，还需要教师在教学中，持续开展相关实践研究。相信随着信息技术的发展和应用的推广，一定可以让GGB这类工具在教学中充分发挥助学和育人的作用。
注：本文系国家出版融合发展重点实验室、人教数字教育研究院规划课题“小学数学信息化教学模式研究”（课题批准号：RJA0119008）的研究成果。
