作者简介
徐丽珍
葛敏辉数学工作室成员，东阳市第二实验小学教师，曾获东阳市数学优质课一等奖，浙江省优秀教育教学论文一等奖，金华市课程改革论文一等奖，东阳市教育科研成果一等奖。
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数学是一门有结构的学科，教学应立足整体推进，实现从“单一割裂的点状思维”向“整体融合的结构思维”转变，从而使知识结构化、策略结构化和思维结构化。
“除数是两位数（非整十数）的除法”是整数除法的最后一个学习内容，具有承前（除数是一位数、整十数除法）启后（除数是多位数除法、小数除法）的关键作用。如何立足整体推进结构化学习呢？我们对教材、学情两个角度展开实然化剖析，以求找准最适切的学习路径。
一、纵深剖析——“理”结构
我们从算理理解、算法形成对“整数除法”进行梳理，充分挖掘“笔算除法”知识与技能的核心本质，为除数是两位数除法与旧知识间建立认知关联通道（见图1）。
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随着教材内容有梯度的扩展，学生面对“除数是两位数的除法”时，对于“计数单位数量等分”算理的理解已经不是难点。那思维难点在哪？是学生在计算“除数是一位数和整十数除法”时一直都用乘法口诀求商，现在似乎不能直接用口诀了，求商的思维结构更复杂了，会表现出很难快速地找准商。
思维难点背后的知识支撑又会是什么呢？我们认为是整数除法知识体系内“算理”“算法”本质间的相互联系。从“除数是一位数”到“除数是整十数”再到“除数是两位数”，算理本质都是对“计数单位数量等分”的理解，求商的思维方式都可以想乘法算除法，求商的路径就是“求一个数里有几个几”。如：716÷32，算理本质是把71个十等分成32份，还余下7个十。算法看似不相同实则是相通的，可以立足算理，建立起“一个数里有几个几十几”转化成“一个数里有几个几十”的意识，都可以用乘法口诀求商。
“转化”迫使学生要探索新方法拐杖（四舍法、五入法），经历从“不能用乘法口诀”求商到“能用乘法口诀” 求商的经验改造。这样“算理理解”作用于算法间的相通，可以使整数笔算除法中，单个知识点“理与法相融”，多个知识链“理与理融通”“法与法联通”，“理作用于法、法联结着理”促使笔算除法知识结构建立。
这提示教学任务是让学生建立起转化的意识，用上乘法口诀求商。思维的连接点是求商的过程就是求一个数里有几个几。教学中直面学生思维难点时，需要站在整体视角下来审视知识点，融通算理理解，建立关联，让知识本质能像一颗具备持续生长力的种子，生根发芽！
二、实证剖析，“论”结构
我们通过“教材的纵深剖析”，确定知识生长点是在算理“计数单位数量等分”驱动作用下，寻求新的路径去关联新旧知识，化归后能用“乘法口诀”试商。那么，这生长点是否符合学生的认知结构呢？我们对学情进行实证剖析来探寻两者融通共生之路。
我们设计了前测卷，随机抽取本校两个班学生（共90人）完成测试。前测卷如下。
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1.学生能自觉迁移，具备关联“理”“法”的认知基础
测试后学生解答情况如下：
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从数据中可知，学生能够正确列竖式计算的人数占比较大。说明大部分学生在探索过程中能自觉迁移进行竖式计算，对算理、算法有一定的认知基础。那么错误的学生主要有哪些情况呢？他们是怎么想的？错因有哪些？通过分析和访谈发现，主要错因有2项。
一是受“计算单位拆分计算”的负迁移影响，呈现被除数前两位（15）去除以除数的十位（2）得到7余1（如图2）。但他们能将“除数是一位数除法”的笔算方法迁移到新的计算中，对算理、算法也是有认知的。
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二是在商×除数时，因在运算中缺乏了生活情境支撑用商×除数的估算数，导致计算结果错误（如图3）。这部分学生是有着较强的迁移学习能力，能将除数是两位数的除法自觉转化成除数是整十数，进行试商。
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对于后2题，大部分学生能将“商是一位数除法”的计算方法迁移，计算出商是两位数的试题。这两个内容的数学思考和数学思维是类似的，可以建立关联，进行结构化学习。
这提示教师的教学，可以从回顾“除数是一位数除法”、“除数是整十数除法”入手学习“除数是两位数除法”的竖式计算，还可以整合“商是一位数”“商数两位数”笔算除法的相关知识，凸显知识本质是理解“计数单位数量等分”，算法间使得学生对整数除法知识体系的架构更合理、更完整。
2.学生明白“想乘法做除法”的道理，但缺乏知识方法的关联认知
为了解学生是否能说清运算过程?了解试商方法间是否可以建构联系？以158÷22为例，我们对计算正确的同学继续深入分析：
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由上图可见，学生受知识经验、认知观念和思维视角等因素影响，运算过程描述存在差异。一半的学生能计算又能用自己的语言表述过程。除了第①种方法“看末尾来试商”，第②③④⑤种方法都在做同一件事——找到“158里有几个22”。其中，能把除数22看成最接近的整十数20来进行试商的同学只有8.89%。说明学生明白笔算除法就是找到“158里有几个22”的道理，能进行程序式计算操作，但不能与前一课时“除数是整十数除法”笔算方法建立知识联结。
这反射出，在前期教学“除数是一位数除法”、“除数是整十数除法”时，老师点对点教学，缺乏知识间的关联。我们在教学时，要重视对前后知识间的关联与转换，将看似散落的知识点建立联结，凸显笔算除法“计数单位数量等分”的知识本质。
3.学生能探寻“算法”，但缺乏策略形成的转换思考
另一半学生能算但说不清计算过程。一些同学完成4道题用了10分钟—15分钟。是在计算中遇到什么困难吗？我们对2位学生进行访谈。
师：计算中你是怎么试出商的？
生1：列了很多个竖式才找到商。
生2：我用列表的方式，从1×22开始，跳着找，最后才找到商是7。
师：以前学习除法的时候要这样试吗？
生1：好像没有
生2：没有吧
师：那你有没有想过问为什么这一次就要试这么多次呢？
生1：没有想过
生2：没有想过
……
为什么“除数是两位数除法”试商对学生来说很难、很烦呢？
（1）回归知识逻辑，学生离开了熟然于心的乘法口诀。小部分学生可以凭良好的数感求商，但对大多数学生而言，求商数感的要求变得更高了、更复杂了。
（2）缺乏对策略转换探索过程进行自我学习、自我反思。想不到将“22”转化成最接近的整十数“20”后可以用“乘法口诀”试商，也就不能快速地、简便地找准商。
这是学生思维难点，同时也是我们的教学重点，让学生经历关联、转化、探索、改造的思维活动，促使“前经验”服务于“新技能”，实现从“单点、多点”迈向“关联、拓展”的结构化学习。
三、学程设计，“立”结构
基于教材、学情来剖析指向推进结构化学习，在上述的分析和思考基础上，学程设计中我们可以得出怎样的教学建议呢？
1.连续：重视“点状”到“网状”的知识体系结构化
前有铺垫——回顾“除数是一位数除法”、“除数是两位数的除法”，复习“计数单位数量等分”算理支撑下，用“乘法口诀求商”的方法；中有突破——从学生暴露的困难点出发，动态呈现“试商”过程，依托“算理”探索用“四舍五入法”将“除数是两位数除法”转化成“除数是整十数除法”，用“乘法口诀”试商，完成经验改造；后有发展——延伸到“除数是三位数除法”、“除数是多位数除法”，就是将除数是“几百几十几”转化为“几个几百”，再用乘法口诀来试商。在整体建构视角下，自主迁移帮助学生打通知识，将零散的知识点动成线、点线相连、线连成网，完善整数除法知识体系的结构。
2.关联：重视“理解”到“迁移”的策略关联结构化
我们重点关注两个维度的策略结构：一是试商方法在“算理融通”下建构，都是理解“一个数里有（ ）个（ ）”，再进行试商算法的提炼、归纳与应用，最后拓展到“除数是两位数、多位数”的除法，建立起“转化”意识，可以用乘法口诀试商。二是数学学习策略的关联，前知都为后知服务。有时会遇见前知不能直接服务后知，就需要探索一条新的路径去转化知识、技能。这样的学习策略不仅在整数除法学习中有用，还可以运用到其他数学学习中，发挥“理解除法学习”到“迁移数学学习”的结构内力。
3.循环：重视“单点”到“拓展”的思维生成结构化
作为整数除法的最后教学内容，可以对比方法找准本元、挖掘知识核心元素。整理学生试商的三种方法：列举找、凑着找、四舍五入整十数找。“列举找”中理解“几个22是158”。“凑着找”是数感培养的关键点，155÷22,商6开始比较接近，要播下“答案可能不是，要调整”的种子，为后续“调商”积累经验埋下伏笔。“四舍五入法”试商，在算理“158里有（ ）个22”驱动下，引发学生去思考“用乘法口诀”求商需要对“158里有（ ）个22”与“158里有（ ）个20”转化关联，转化的新路径就是“四舍法”把22看成20，同样在166÷38中需要“五入法”来转化，就能用“乘法口诀”求商了。这样的转化思维再应用拓展到“商是两位数”、“除数是多位数”试商。学生在表达中提炼笔算方法、建构学习方法，循环上升中内化知识技能，体现知识结构化和策略结构化的同时实现思维从“单点”向“拓展”的结构生成。
数学学习要发挥结构的力量，通过对数学知识结构和学生认知结构的实然化深度剖析，融通共生，让学生经历有结构的学习活动，促进知识、策略和思维的整体建构。
