“面积”是小学数学学习中的一个重要概念。人教版三年级下册第五单元“面积和面积单位”第一课时,是学生第一次真正接触面积。作为整个单元乃至整个小学阶段图形面积的起始课,其作用不言而喻。如何上好这堂课,为学生埋下学习、研究图形面积的种子,是我们一直以来的思考与追求。

由数学史料引出面积概念

step1

师:同学们,很早很早以前,人们测量长度用的不是尺子,你知道用什么吗?

生:用一拃,也可以张开手臂(一庹)或者用脚(一步)来测量。

师:对了,人们用脚步来丈量长度。比如说,从家里出发到树林摘果子要走200步,到小河边捕鱼要走150步。后来,人们想要获取更多的食物,他们会怎么做?

生:可以种粮食。

师:但是这也会遇到一个问题,种植粮食的土地往往会被洪水淹没。大水过后,人们不得不重新测量土地的大小,住在尼罗河边的古埃及人就常常这样做。在我国古代有一本数学名著叫《九章算术》,记录了各种形状的土地大小的问题。书中多次出现一个词语,叫做“几何”,你听说过吗?

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生:听说过,我知道有几何图形。

师:是的,古今中外,“几何”这个词的意思并不完全一样,但有一点是相同的,它一开始都跟“土地测量”有关。在我国古代,一块田的横、竖两个方向被称为“广”和“从”,也就是长和宽的意思。那么,我们在这块地里种植庄稼,是种在边上吗?

生:不是,应该是种在里面。

师:这块地里面所有可以种庄稼的地方的大小,就可以叫做它的面积。除了土地有面积,还有谁也有面积?请你指一指,说一说。

生:操场、桌面、信封、长方形、三角形……

师:是的,就像同学们说的那样,物体表面,比如操场、桌面,或者封闭图形,比如长方形、三角形等,它们的大小,就叫做面积。

【设计意图:从长度的度量引入面积及其度量是出于两方面的考虑:其一,面积与长度存在着密切的联系;其二,合理利用学生已具备的长度测量的经验,可以为面积的度量做好铺垫,顺利实现从一维的度量过渡到二维的度量。】

在认知冲突中创造单位面积

step2

1.在直观比较中引出单位面积

师:同学们,这里有一块地,是一个正方形,长16步,宽16步。它的面积有多大?

生:可能是16步乘4。

生:是16乘16。

师:到底是多大我们慢慢来研究。这里一还有一块②号地,长是32步,宽是16步。这两块地谁大谁小?

生:把两块地叠在一起就可以了。因为它们宽是一样的,①号长16步,②号长32步,所以②号大。

生:我发现②号是①号的两倍,①号是②号的一半。

师:是的,如果两个长方形其中有一条边相同,我们只要比一比另一条边就行了。而且你们还发现了它们之间的关系,真了不起。如果要测量它们的大小,你会用①号去测量②号,还是用②号去测量①号?

生:我会用①号去量②号,①号小,②号大,把①号放到②号里面去,可以放两个。

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【设计意图:以存在倍数关系的长方形和正方形作为研究单位面积的素材,通过学生已有的1倍量的知识自然引出单位面积,由长的两倍关系得出面积的两倍关系,从长度的度量过渡到面积的度量。】

2.在认知冲突中引出新的单位面积

师:看到同学们这么能干,老师想请大家帮个忙,王大伯和李大叔为了两块地谁大谁小吵了起来。

课件出示③号地(长24步,宽16步)和④号地(长20步,宽20步)。

师:比一比它们的边,能不能看出谁大谁小?

生:不能,③号的长比④号的长要长,但宽比④号的短,很难说谁大谁小。

师:那你有什么好办法?

生:用一个小正方形量一量。

师:如果用刚才的①号来量,你发现了什么?

生:用①号量③号还剩一点,量④号也还剩一点。但是剩下的也看不出谁大谁小。

生:用小一点的正方形,补在旁边空缺的地方就可以了。

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师:老师给每个小组准备了一个锦囊,我们用里面法宝一起来研究一下。

学生小组合作后汇报。

生:③号土地我们用了边长8步的正方形来量,一共用了6块。

生:④号土地用4个边长8步的正方形量,还有多余,然后再用小的正方形(边长4步)来拼,又拼了9个。

生:我们小组刚才量之前先比了比,发现4块小的和1块大的一样。那么④号就变成了6块大的和1块小的,比③号多一小块。

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生:我们直接用边长4步的去量④号,发现也刚好可以量完,用了25块。

生:③号也可以都变成边长4步的,一共有24块。

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师:这样很快就能看出来谁大谁小了。在量的过程中,我们可以根据实际情况,选择大的正方形或小的正方形,但是比较大小的时候呢?

生:最好要用相同的正方形。

【设计意图:面对测量对象的实际情况,学生选用了不同的单位面积。在实际需要中创造新的单位面积,符合人们的认知过程。同时,学生也体会到,采用同一种单位面积更便于被测量对象的大小比较。】

在迁移比较中完善面积概念

step3

1.在解决问题中完善单位面积体系

师:同学们的办法太好了,王大爷和李大爷听了心服口服。下面这两块地,还能用边长8步的正方形来完整地测量吗?边长4步的呢?

课件出示⑤号地(长16步,宽14步)和⑥号地(长15步,宽14步)。

生:⑤号地用8步的,横着量可以放两个,竖着量只有一个多。用边长4步的量也不行,14除以4不能除。

生:用边长2步的正方形可以量,一行有8个,有7行。

生:⑥号地也不能用边长8步或4步的,2步的也不行,可以用边长1步的。

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师:有需要的话,甚至可以?

生:可以用边长0.5步的,或者说是半步的。

【设计意图:在上一环节的基础上,学生进行有效迁移,根据实际情况进一步创造了新的单位面积,并形成了较为完善的单位面积体系。】

2.在回顾比较解读中感受数学文化

师:刚才同学们创造了不同大小的正方形来测量不同的长方形。你喜欢大的正方形还是小的正方形?

生:大正方形,大的量起来快。

生:我喜欢用小的,小的各种各样的长方形都能量。

生:其实它们各有优点和缺点。大的量起来方便,但常常会有多余;小的可以量各种长方形,但是有点麻烦。

师:你的评价非常公正。是的,为了测量不同的长方形,我们选择了不同的小正方形。这种现象我们学习数学时,在其它地方遇到过吗?

生:有一次老师和我们一起量黑板,4米多一点,多出来的用了厘米来量。

生:还可以用毫米。

师:我们今天创造了这么多种小正方形,也正是为了更好的测量长方形的面积。你们真了不起,和数学家们想到一块儿去了。那么,今天学到这里,你觉得面积的“积”是什么意思?

生:我知道“乘数×乘数=积”,长方形的面积也可以用乘法来算。

生:我觉得就是很多小正方形合起来、拼起来的意思。

师:这么说来,面积可以理解为“面的累积”。

【设计意图:在回顾的过程中,进一步深化对不同单位面积的价值的理解。同时,将单位面积的创造过程与长度单位的使用联系起来,并结合探究过程,理解“方出于矩”的数学文化内涵。至此,学生对面积和面积的测量有了较为全面的认识。】

5

你知道吗?

你知道下面这个神秘的仪器是什么吗?这是一台数字求积仪。用求积仪可以测量不规则封闭图形的面积。

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求积仪的使用方法为固定臂的外端不动,将测量臂的外端放在曲线的任意一个点上,将刻度盘的示数归零,手拿测量臂的外端,顺时针绕曲线一周后回到起点,此时刻度盘上所显示的即为封闭图形的面积。